Notes de cours: La fonction rationnelle

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Samira Baskets LFU 2 Sneaker Joop Femme La fonction rationnelle est une règle dérivée de la fonction inversement proportionnelle. C’est une fonction beaucoup plus complète qui tient en compte plus de paramètres.

Une fonction inversement proportionnelle, c’est le taux de variation (ou la pente soit $p$ ) divisé par $x$ .

\[ f(x) = \frac{p}{x} \]

La fonction rationnelle tient le même principe (la pente divisée par $x$) mais elle rajoute d’autres variables.

\[ f(x) = \frac{p}{b \times (x – h)} + k \]

Baskets LFU Femme Sneaker Joop Samira 2 Pour comprendre les paramètres $h$ et $k$, il faut regarder le graphique ci-contre:

Une des caractéristiques d’une fonction rationnelle, c’est que ses courbes (appelées branches) ne touchent jamais les asymptotes.

Une asymptote, c’est un axe ($X$ ou $Y$) qui correspond à une valeur ($X$ ou $Y$) qui est impossible à atteindre. C’est une valeur $x$ pour laquelle il n’y a pas de valeur $y$ (et vice-versa).

Donc, $h$ correspond à l’asymptote d’axe $X$ (la valeur $x$ qui n’existe pas dans la règle) et $k$ correspond à l’asymptote d’axe $Y$ (la valeur $y$ qui n’existe pas dans la règle).

$b$ correspond à l’orientation de l’hyperbole (la courbe).

Deux règles pour le prix d’une!

Femme Baskets Joop Sneaker LFU 2 Samira La fonction rationnelle peut s’écrire de deux façons:

\[ f_{1}(x) = \frac{p}{b \times (x – h)} + k \]

Ou

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\[ f_{2}(x) = \frac{a_{1}x + b_{1}}{a_{2}x + b_{2}} \]

Voici comment faire pour passer de $f_{2}$ à $f_{1}$:

Avec $\frac{3x + 5}{x – 1} $

Baskets Joop Femme Sneaker LFU 2 Samira Il faut simplement effectuer la division $(3x + 5) \div (x – 1)$ ce qui donne $\frac{8}{x – 1} + 3$.

Tuons $b$ !

Pour enlever le paramètre $b$, il suffit là aussi d’effectuer la division. Avec $f(x) = \frac{7}{2 \times (x – 10)} + 5$ :

\[ \frac{7 \div 2}{x – 10} + 5 \]

Ce qui donne

\[ \frac{3.5}{x – 10} + 5 \]

LFU Baskets Femme Sneaker 2 Joop Samira Résoudre une équation rationnelle (à une variable)

La résolution d’une équation rationnelle se fait en plusieurs étapes. Les voici:

  1. Isoler la fraction (éliminer la variable $K$)
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  3. Appliquer la règle de trois
  4. Isoler la variable $x$
  5. Trouver la condition d’existence

Exemple:

$-9 = \frac{4}{3 – x} + 2$

Isoler la fraction qui contient la variable $x$:

$-9 – 2 = \frac{4}{3 – x} + 2 – 2$

$\frac{-11}{1} = \frac{4}{3 – x}$

Samira Baskets Femme LFU Joop Sneaker 2 Règle de trois:

$4 \times 1 = -11 \times (3 – x)$

Résolution de l’équation:

$4 = -33 + 11x $

$4 + 33 = -33 + 33 + 11x$

$37 = 11x$

$\frac{37}{11} = \frac{11x}{11}$

$x = 3,\bar{36}$

Résolution d’une inéquation

Samira Baskets Joop Sneaker 2 Femme LFU Une inéquation rationnelle se résous presque de la même manière qu’une équation. Il faut:

  1. Changer le symbole d’inégalité ( $ < > \leq \geq $ ) en symbole d’égalité ( $ = $ );
  2. Isoler l’expression contenant la variable;
  3. Appliquer le produit croisé;
  4. Trouver la valeur de la variable;
  5. LFU Samira Baskets Sneaker 2 Joop Femme Il faut ensuite déterminer l’intervalle qui permet de confirmer l’inéquation (“entre quoi et quoi l’inéquation est-elle vraie?”). Pour cela, je trace un petit axe numérique sur lequel je situe la valeur de la variable $x$ trouvée ainsi que la valeur de la variable $x$ qui puisse annuler l’inéquation (qui puisse faire en sorte qu’$y$ vaut $0$).
  6. Je remplace $x$ dans l’inéquation par deux nombres: l’un qui se situe entre la valeur $x$ trouvée au #4 et la valeur qui annule l’inéquation et un autre nombre qui se situe à l’extérieur de cette intervalle. Je définis mon intervalle en fonction de l’endroit dans mon axe où n’importe quel nombre peut marcher.
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Joop Femme LFU 2 Samira Baskets Sneaker Exemple:

Baskets Femme LFU Sneaker 2 Joop Samira \[ 7 > \frac{5}{8 – x} + 1

\] \[7 – 1 = \frac{5}{8 – x} + 1 – 1

\] \[6 = \frac{5}{8 – x}

Samira 2 LFU Joop Baskets Sneaker Femme \] \[8 – x = \frac{5}{6}

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\] \[8 – \frac{5}{6} = x

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\] \[\frac{43}{6} = x

\]

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